Isaac Newton (1642-1727):

Tüm zamanların en büyük bilim insanlarından biri sayılan, kendi adıyla anılan hareket yasalarını bulan ünlü İngiliz fizikçi ve matematikçi. Olağanüstü otoritesinin ana kaynağı, mekaniği aksiyomatik temeller üzerine kuran ve hem elmayı yere düşüren, hem de Ay'ı Dünya'nın etrafında döndüren çekim yasasını içeren büyük kitabı Principia Mathematica (1687) idi. Özenli bir matematiksel tümdengelimle, Kepler'in gözleme dayanarak ortaya koyduğu gezegenlerle ilgili yasalarının, açıklamalarını, yerçekiminin ters kare yasasında bulduğunu gösterdi. Gökcisimlerinin ve gelgit hareketinin birçok yönünün dinamik açıklamasını yaptı. Küreler için iki cisim problemini çözdü ve Ay'ın hareketi kuramının başlangıcını oluşturdu. Kürelerin çekimi problemini çözerek, potansiyel kuramının temellerini attı. Konularını aksiyomatik olarak ele alırken, mutlak uzay ve mutlak zaman önermesini kabul etti. Evrensel kütle çekim yasası ve ışığın bileşenleri yasası üzerine temel görüşlerini 1665-66 yıllarında Cambridge'i saran vebadan kurtulmak için kaçtığı, doğum yeri olan çiftlikte geliştirdi. Bilim tarihinde bundan daha verimli başka bir iki yıl yoktur. Newton'un "flüksiyonlar"ı (diferansiyel hesap) keşfetmesi, Wallis'in kitabından öğrendiği sonsuz serilerle yakından ilgilidir. Onun binom teoremini kesirli ve negatif üslerle genişletmesi, binom serisini keşfetmesini sağladı. Bu da flüksiyonlar kuramını cebirsel ya da aşkın (transandant) tüm eğrileri kapsayacak biçimde genişletmesine yardımcı oldu. Ayrıca konikler ve düzlemsel kübik eğriler üzerine de çalıştı. Başka bir katkısı, sayısal denklemlerin köklerine yaklaşımlar bulma yöntemiydi.

İNTEGRAL VE TÜREVİ ANLAMAK

Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır. 

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız: Türev, herhangi bir zaman aralığındaki değişim miktardır. Yani "değişim"i ölçmek için kullanılır. Az sonra örneklendireceğiz. İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da biriken değişim miktarını, ifade etmek için kullanılır. Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin 1 saatte) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranıdır. Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat basit bir şekilde düşünecek olursak, her saniye 1 damla damlatan bir tavanın kovayı doldurma hızı, türevle hesaplanır. Bu tür çok basit işler için yapılan işlemlerde türev, basit çarpım ve toplam işlemlerine dönüşür. Bu sebeple türev olarak düşünemize gerek kalmaz; ancak değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz. 

Görseldeki İntegrali Anlamak

Görselde, "edebi" bir örnek üzerinden integral anlatılmaktadır. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik. Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim: "Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir."

Bu cümlenin integral ifadesi, görseldeki gibidir. Önce, değişken belirlenmelidir. Burada değişen şey, zamandır. Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz. İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan işaret) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum. Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son olaraksa, değişken Δ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman, "birim zaman" demektir. İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik!

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır. Bu örnekteki temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Ki bu, gerçek sorunlarla karşılaşan bilim insanlarının yaptığı ilk şeydir. Sonrasında, integrali tespit ederler ve sayısız çözüm yönteminden uygun olan birini kullanarak çözerler. 

Grafiklerin Türev ve İntegralini Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir." Neden? Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bunun herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir. Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir. Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: ilki, somut fiziktir. Konum, hızın zamana göre integralidir. Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konumu verir. Anlaması, lisedeki gibi zor, değil mi? Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx veya dx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 

Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak görebilirsiniz.

Bu konuda daha pekçok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.

 TÜREVİN VE İNTEGRALİN KULLANIM ALANLARI

Türev ve integral ne işe yarayacak? Mühendislik konusunda bu hesaplar artık hazır bilgisayar programları tarafından yapılıyor ve sonuçları mühendis arkadaşların yapacakları analizlere girdi olarak sunuluyor. Bu nedenle bu işlemler bir anlamda artık otomasyona bağlanmış durumda.

Fakat integral ve türev gibi hesaplama yöntemleri diferansiyel hesaplama diye geçer literatürde. Neden diferansiyel? Bilmeyenler için söylüyorum, "difference" fark demek İngilizce'de. Bunu bulan Newton(+Leibniz) da İngiliz olduğu için, bu yönteme differential denilmiş. İşte bu olay, bu noktada düğümleniyor. Yani, türev ve integral, değişim ve fark ölçme bilimi. Yani, doğada sık rastlandığı üzere sonsuz küçük(analog), eğrisel(üssel, üstel, logaritmik, polinomial) değişimi ve farkları ölçme bilimi. Değişimi yönetme bilimi de denebilir. Tıpkı beyinlerimizin hayatta yaşayabilmek için sonsuz küçük farkları ve değişimleri dijital değil, ama analog ölçtüğü gibi. Analog ölçüm, diferansiyel hesaplamaları zorunlu kılar. Ses, ışık, elektromagnetik frekanslar hep diferansiyel hesaplamadır. Beyinlerimiz doğrusal değişimlere karşı duyarsız olabilir fakat eğrisel değişim derhal fark(!) edilir ve önlem alınır. Herhalde doğada çoğunluk eğrisel değişim yaşandığı için beyinlerimiz de buna duyarlı hale gelmiş.

Diferansiyel hesaplama, robotik için de olmazsa olmaz bir hesaplama yöntemidir. Canlı bir organizmayı taklit edeceğiz ya:) Canlı organizma da, iç ve dış sonsuz küçük analog değişimleri yöneterek, için içle ve için dışla dengesini arayan diferansiyel bir enerji formatıdır. Yani, bir bakıma integral ve türev, bu satırların yazılmasını sağlıyor. Ne de olsa, beynim düşüncelerimi taşıdıkları enerji farklarına göre düzenleyip, sinirlerim aracılığı ile parmaklarımın konumunu ve hızını diferansiyel olarak klavye üzerinde hesaplıyor. Yani, bu kadar hayatın içindedir ve canlıdır.

Beyinde de bir otomasyon sistemi var elbet. Bu nedenle bu hesaplamaların bilincinde değiliz. Sadece sonuçlarını yaşıyoruz. Maalesef bilimcimiz, raporlarla ilgileniyor. Beynimizdeki o raporların hazırlanmasında kullanılan hesaplamalarla değil. Bu kadarı, ilkel bir insanı yani 100 trilyon hücreli o dev nüfusu, hayatta tutmak için yeterli olmuş biyoloji açısından. Fakat o insan başka insanlarla bir araya geldikçe ve bu kez insanlardan oluşan hücrelerin yeni gövdesinde raporlama için gereken hesaplamaları yapacak insanlara gerek olmuş. Beynimizdeki özel bir hücre topluluğu bunu bilincimizin dışında mükemmel yapıyor ama biz bunu bilincimizin içinde yapmak zorundayız yeni gövde için. Bu da matematik eğitimi, okul falanı zorunlu kılıyor. İyi de, yapacağımız bu hesaplamalar nasıl ve kimin işine yarayacak değil mi?

Beyinde hesaplama yapan bir hücre, yaptığı hesabın ne işe yarayacağını biliyor mu? Sadece ona verilen mesleki formasyon nedeni ile bu hesaplamaları yapıyor. Toplum içinde yaşayan insan da tıpkı beynin içinde yaşayan bir hücre gibi. Yapıyor ama neden yaptığını ve ne işe yaradığını bilmiyor. Aslında insan gibi 100 trilyon hücrelik bir toplumun tek bir şuuru varken, milyarlarca insandan oluşan insanlığın neden tek bir şuuru olmasın? Değil mi? Buna kamuoyu mu deniyor yoksa? Biz, kamuoyunun kamu malına dönüştüğü noktada sorun yaşıyoruz bence. Nasıl mı? Beyin gövdenin malıyken, aynı zamanda da gövdenin oyudur yani:)) Biz kendi bedenimizin yegane iktidarı ve oyu iken, böyle toplumun malı olmayı içimize sindiremiyoruz.

Mikro bazda kendimizin efendisi iken, makro bazda toplumun sadece hesap yapan uşağı olmayı içimize sindiremiyor ve isyan ediyoruz: Neden ders çalışmak zorundayım? Neden öğrenmek için kendimi zorlamalıyım? Neden hesap öğrenmeliyim? Bedenim bu hesapların alasını bilir ve yaparken, ben(yani, şuurum) niye 2*2=4 noktasında olayım?

İnsan bilinci, kullanımı maliyetli bir işlevdir. Bu nedenle en büyük resme yönelir hep. En büyük resmi oluşturan hesaplamalar ile ilgilenmez. Detay hesaplamaları otomasyona bırakır. Resimle ve onun anlamları ile ilgilenir. Mühendisler de, bilgisayarlar(hesaplayıcılar) sayesinde resimlerin anlamlarına odaklanacakları ve bu anlamları yönetecekleri zamanda yaşıyorlar artık. Ne güzel. Cümle kuruluş kuralları ile uğraşmak yerine, cümle anlamları ile uğraşmak. Sentaks ile boğuşmak yerine, semantik lezzetlerle ilgilenmek:)) İyi değil mi? Çağımız mühendisleri mimarlara yaklaştırıyor galiba...